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欧几里得简介,最大公因数

欧几里得(希腊语(Greece)文:Ευκλειδη? ,约公元前330年—前275年),古希腊共和国(Ελληνική Δημοκρατία)化学家,被誉为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-前283年)时代的亚老秃顶子大里亚,他最显赫的着作《几何原来》是北美洲数学的根基,提议中国共产党第五次全国代表大会公式,发展欧几里得几何,被普及的以为是历史上最成功的课本。欧几里得也写了有个别有关透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的文章,是几何学的奠基人。欧几里得算法以及对完全体的钻研都对后人爆发极大影响。《几何原本》是古希腊(Ελλάδα)数学发展的极限,欧几里得使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 人选平生 关于她的平生,未来清楚的比相当少。早年差很少就学于雅典,深知Plato的思想。公元前300年左右,在托勒密王(公元前364~前283)的邀请下,来到亚天桂山大,长时间在那边专门的学问。他是一个人温良敦厚的文学家,对有志数学之士,总是谆谆教导。但不予不肯苦研、偷工减料的作风,也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯记载,托勒密王曾经问欧几里得,除了他的《几何原本》之外,还应该有没有别的学习几何的走后门。欧几里得回答说: “几何无王者之路。”意思是, 在几何里,未有专为皇上铺设的坦途。 那句话后来改成传播千古的求学箴言。Stowe贝乌斯记述了另一则传说,说三个学员才早先学第叁个命题,就问欧几里得学了几何学未来将赢得些什么。欧几里得说:给她八个钱币,因为她想在求学中收获取利益益。 欧几里得生于雅典,是Plato的学生。他的没有错活动首借使在亚天河山大举办的,在此地,他树立了以她领衔的数学学派。 欧几里得,以他的机要着作《几何原来》而着称于世,他的干活重大要义在于把前人的数学成果加以系统的股价整理和总计,以严密的演绎逻辑,把树立在有个别公理之上的初等几何学知识结合为二个整齐的种类。欧几里得构建起来的几何学体系之严酷和总体,就连20世纪最杰出的大地法学家爱因Stan也无法对她不另眼相看。 爱因Stan说:“一人当他最初接触欧几里得几何学时,若无为它的明晰性和可靠性所震惊,那么他是不会成为叁个化学家的。” 《几何原本》中的数学内容恐怕十分的少为他所创,不过至于公理的挑选,定理的排列以及部分严密的印证的确是他的功劳,在那方面,他的行事出彩无比。 欧几里得的《几何原来》共有13篇,首先付诸的是概念和公理。举个例子他先是定义了点、线、面包车型大巴概念。他整理的5条公理个中囊括: 1.从某个到另一放肆点作直线是恐怕的; 2.有所的直角都等于; 3.a=b,b=c,则a=c; 4.若a=b则a c=b c等等。 那么些中还会有一条公理是欧几里得自个儿提议的,即:全体高于部分。尽管那条公理不像其他公理那么一望便知,不那么轻巧为人承受,但那是欧氏几何中必须的,至关重要的。他能建议来,那恰恰展现了她的禀赋,欧几里得除了创作首要几何学巨着《几何原来》外,还着有《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等着作。 欧几里得距离 欧几里得距离一般指欧几里得度量,欧几里得衡量(euclidean metric)是二个平凡使用的离开定义,指在m维空间中七个点之间的真正距离,也许向量的当然长度(即该点到原点的相距)。在二维和三维空间中的欧氏距离正是两点时期的实际距离。 欧几里得算法 欧几Reade算法又称辗转相除法,用于总结多少个正整数a,b的最大公约数。 其计算原理重视于上面包车型大巴定律: 定理:八个整数的最大公约数等于个中极小的这个数和两数的相除余数的最大公约数。最大公约数(greatest common divisor)缩写为gcd。 gcd = gcd(b,a mod b) (不要紧设a>b 且r=a mod b ,r不为0) 证法一 a能够象征成a = kb r(a,b,k,r皆为正整数),则r = a mod b 要是d是a,b的多个公约数,记作d|a,d|b,即a和b都得以被d整除。 而r = a


欧几Reade算法又称辗转相除法,用于总括多少个整数a,b的最大公约数。

【转载】

【转载】

  • kb,两侧同偶尔间除以d,r/d=a/d-kb/d=m,等式侧边可见m为整数,因而d|r 由此d也是(b,a mod b)的公约数 由此和(b,a mod b)的公约数是一律的,其最大公约数也确定相等,得证。 证法二 第一步:令c=gcd,则设a=mc,b=nc 第二步:可见r =a-kb=mc-knc=c 第三步:根据第二步结果可见c也是r的因数 第四步:能够看清m-kn与n互素【不然,可设m-kn=xd,n=yd,,则m=kn xd=kyd xd=d,则a=mc=dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数≥cd,而非c,与眼下结论争论】 进而可见gcd=c,继而gcd=gcd,得证 以上三种方法实质平等的。 人选评价 欧几Reade是远古希腊(Ελλάδα)最负著名、最有影响的物工学家之一,他是亚昆仑虚大里亚学派的积极分子。欧几Reade写过一本书,书名称为《几何原来》共有13卷。这一着作对于几何学、数学和不利的前途升高,对于西方人的上上下下思维格局都有非常的大的影响。《几何原来》的严重性对象是几何学,但它还管理了数论、无理数理论等别的课题。欧几Reade使用了公理化的主意。公理正是规定的、不需申明的着力命题,一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中,各种验证必须以公理为前提,可能以被注明了的定律为前提。这一情势后来成了树立任何文化系统的理所必然,在大概贰仟年间,被当成必须服从的严密思维的圭臬。《几何原来》是古希腊语(Greece)数学发展的终极。

问题##

欧几Reade算法又称折腾相除法,用于计算多个正整数a,b的最大公约数。举个例子,gcd(50,15)=5。


 

一:欧几里得算法(辗转相除法)

一:欧几里得算法(辗转相除法)

证明##

其计算原理看重于上边包车型地铁定律:
定理:三个整数的最大公约数等于在那之中十分小的这一个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数(greatest common divisor)缩写为gcd。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

主导算法:设a=qb r,在那之中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

                       基本算法:设a=qb r,当中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

                       基本算法:设a=qb r,当中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

证法一##

a能够代表成a = kb r(a,b,k,r皆为正整数,且r<b),则r = a mod b
比如d是a,b的多少个公约数,记作d|a,d|b,即a和b都得以被d整除。
而r = a - kb,两侧同一时候除以d,r/d=a/d-kb/d=m,由等式侧面可知m为整数,因而d|r
因而d也是b,a mod b的公约数
要是d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是二个整数,
随之d|a.由此d也是a,b的公约数
之所以(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一模一样的,其最大公约数也终将相等,得证。

 

证明:

证明:

证法二##

第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc
第二步:可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
其三步:依据第二步结果可见c也是r的因子
第四步:能够判明m-kn与n互素【不然,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn xd=kyd xd=(ky x)d,则a=mc=(ky x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数≥cd,而非c,与前方结论争辨】
因而能够gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证
留心:二种办法是有分别的。


先是种注解:

       a能够象征成a = kb r,则r = a mod b

       a能够象征成a = kb r,则r = a mod b

代码##

    public static long gcd(long m, long n) {
        while (n != 0) {
            long rem = m % n;
            m = n;
            n = rem;
        }
        return m;
    }

      a能够表示成a = kb r,则r = a mod b

  如若d是a,b的三个公约数,则有

  如果d是a,b的三个公约数,则有

分析##

如代码所示的算法总计gcd(M,N),假使M>=N(假如N>M,则循环的第贰回迭代,将她们相互沟通)。算法三翻五次总计余数直到余数是0截止,最终的非0余数正是最大公因数。因而,固然M=一九八六和N=1590,则余数体系为399,393,6,3,0。从而,gcd(1988,1590)=3。正如类别所标记的,那是叁个飞快算法。

测度算法的上上下下运转时刻依据于规定余数种类毕竟有多少长度。显著logN看似像能够中的答案,可是平昔看不出余数的值遵照常数因子递减的必然性,因为大家看到余数从399单独降到393.事实上,在二回迭代中余数并不遵守二个常数因子递减。然则,大家得以证实,在三遍迭代后,余数最多是原来值得十分之五。

证明如果M>N,则M mod N < M/2如下:
留存三种状态。若是M<=M/2,则由于余数小于N,故定理在这种情景下自然创制。另一种意况则是M>M/2。可是此时M仅仅含有一个N,进而余数为M-N<M/2,定理得证。所以时间复杂度为O(logN)。

  如果d是a,b的二个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因而d是(b,a mod b)的公约数

  因而d是(b,a mod b)的公约数

  由此d是(b,a mod b)的公约数

  假诺d 是(b,a mod b)的公约数,则

  假使d 是(b,a mod b)的公约数,则

  如果d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  由此d也是(a,b)的公约数

  因此d也是(a,b)的公约数

  由此d也是(a,b)的公约数

  因而(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一模一样的,其最大公约数也一定相等,得证

  因而(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一致的,其最大公约数也必将相等,得证

  由此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是同样的,其最大公约数也决然相等,得证

算法达成:

算法实现:

 

int gcd(int a,int b) {             //递归算法  
    return b ? gcd(b, a%b) : a;  
}  

int gcd(int a, int b) {      //迭代算法  
    while(b) {  
        int c = a%b;  
        a = b;  
        b = c;  
    }  
    return a;  
}  
int gcd(int a,int b) {             //递归算法  
    return b ? gcd(b, a%b) : a;  
}  

int gcd(int a, int b) {      //迭代算法  
    while(b) {  
        int c = a%b;  
        a = b;  
        b = c;  
    }  
    return a;  
}  

其次种证明:

二   扩大欧几里得算法:

二   扩充欧几里得算法:

    要证欧几里德算法创设,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),在那之中gcd是取最大公约数的野趣,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设  c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,当中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可见,r= a- qb 在那之中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(若是n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 当中x,y,d都以正整数,且d>1
                                                                则a=mc=(qx y)dc, b=xdc,那时a,b 的最大公约数产生dc,与前提争辨,
                                                                 所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。

 

 

 

               基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax by。

               基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax by。

算法的落实:

 

 

最简便的艺术就是应用递归算法,代码如下:

   证明:设 a>b。

   证明:设 a>b。

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

 

  2,ab!=0 时

  2,ab!=0 时

 

  设 ax1 by1=gcd(a,b);

  设 ax1 by1=gcd(a,b);

代码可优化如下:

  bx2 (a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  bx2 (a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }

  依照朴素的欧几Reade原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  依据朴素的欧几Reade原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

 

  则:ax1 by1=bx2 (a mod b)y2;

  则:ax1 by1=bx2 (a mod b)y2;

 

  即:ax1 by1=bx2 (a-(a/b)*b)y2=ay2 bx2-(a/b)*by2;

  即:ax1 by1=bx2 (a-(a/b)*b)y2=ay2 bx2-(a/b)*by2;

本来你也足以用迭代式样:

  依照恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

  依照恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5       int r = b;
 6       b = a % b;
 7       a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

      那样我们就获得了求解 x1,y1 的艺术:x1,y1 的值基于 x2,y2.

      那样我们就取得了求解 x1,y1 的办法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

 

   下边包车型大巴缅想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归能够了结。

   上边的切磋是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归能够了结。

//递归代码  
int exgcd(int a, int b, int&x, int&y) {  
   if (b == 0) {  
       x = 1;  
       y = 0;  
       return a;  
   }  
   int r = exgcd(b, a%b, y, x);  
   int t = x;  
   y = y - a/b*t;  
   return r;  
  }
   // 非递归算法  
int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {  
   int x1, y1, x0, y0;  
   x0 = 1; y0 = 0;  
   x1 = 0; y1 = 1;  
   x = 0; y = 1;  
   int r = m%n;  
   int q = (m-r)/n;  
   while(r) {  
       x = x0 - q*x1;  
       y = y0 - q*y1;  
       x0 = x1; y0 = y1;  
       x1 = x; y1 = y;  
       m = n; n = r; r = m%n;  
       q = (m-r)/n;  
   }  
   return n;  
}
//递归代码  
int exgcd(int a, int b, int&x, int&y) {  
   if (b == 0) {  
       x = 1;  
       y = 0;  
       return a;  
   }  
   int r = exgcd(b, a%b, y, x);  
   int t = x;  
   y = y - a/b*t;  
   return r;  
  }
   // 非递归算法  
int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {  
   int x1, y1, x0, y0;  
   x0 = 1; y0 = 0;  
   x1 = 0; y1 = 1;  
   x = 0; y = 1;  
   int r = m%n;  
   int q = (m-r)/n;  
   while(r) {  
       x = x0 - q*x1;  
       y = y0 - q*y1;  
       x0 = x1; y0 = y1;  
       x1 = x; y1 = y;  
       m = n; n = r; r = m%n;  
       q = (m-r)/n;  
   }  
   return n;  
}

刘汝佳的:

刘汝佳的:

void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {  
    if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; }  
    else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }  
}  
void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {  
    if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; }  
    else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }  
}  

地点求出的 x(当a>b时)都以最接近0的正整数。(不晓得为什么)

地方求出的 x(当a>b时)都以最周边0的正整数。(不知情为什么)

 

 

 

 

扩张欧几Reade算法的运用关键有以下四个方面:

扩大欧几Reade算法的应用关键有以下四个地点:

(1)求解不定方程;

(1)求解不定方程;

(2)求解模线性方程(线性同余方程)与逆元;

(2)求解模线性方程(线性同余方程)与逆元;

 

 

 

 

(1)求解不定方程;

(1)求解不定方程;

  1.对于不定整数方程ax by=m,若 m mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,不然海市蜃楼整数解。

  1.对于不定整数方程ax by=m,若 m mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,不然子虚乌有整数解。

欧几里得简介,最大公因数。     证明:

     证明:

首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题,所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x b*y=m,如果这个线性方程有解,那么一定有gcd(a,b) | m,即a,b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单,由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0,所以a*x b*y肯定能够整除gcd(a,b),如果线性方程成立,那么就可以用m代替a*x b*y,从而得到上面的结论,利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。
  2.ax by=Gcd(a, b) 两侧同偶尔候乘以 m/Gcd(a, b)得a(x*m/Gcd(a, b)) b(y*m/Gcd(a, b))=m;

首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题,所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x b*y=m,如果这个线性方程有解,那么一定有gcd(a,b) | m,即a,b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单,由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0,所以a*x b*y肯定能够整除gcd(a,b),如果线性方程成立,那么就可以用m代替a*x b*y,从而得到上面的结论,利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。
  2.ax by=Gcd(a, b) 两侧同不时候乘以 m/Gcd(a, b)得a(x*m/Gcd(a, b)) b(y*m/Gcd(a, b))=m;

上边已经列出找多少个大背头解的主意,在找到 a*x  b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,不定方程ax by=m的一组解满意 x = m(x0)/gcd , y = m*(y0)/gcd;
所以通解为  x = m*(x0)/gcd k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd k*欧几里得简介,最大公因数。lcm/b (当中k为任性整数);
证明:

地点已经列出找三个整数解的章程,在找到 a*x  b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,不定方程ax by=m的一组解满意 x = m(x0)/gcd , y = m*(y0)/gcd;
故而通解为  x = m*(x0)/gcd k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd k*lcm/b (在那之中k为任意整数);
证明:

      令a1=a/gcd(a,b),b1=b/gcd(a,b),m1=m/gcd(a,b)。那么x,y的一组解就是x0*m1,y0*m1,但是由于满足方程的解无穷多个,在实际的解题中一般都会去求解x或是y的最小正数的值。以求x为例,又该如何求解呢?还是从方程入手,现在的x,y已经满足a*x b*y=m,那么a*(x n*b) b*(y-n*a)=m显然也是成立的。可以得出x n*b(n=…,-2,-1,0,1,2,…)就是方程的所有x解的集合,由于每一个x都肯定有一个y和其对应,所以在求解x的时候可以不考虑y的取值。取k使得x k*b>0,x的最小正数值就应该是(x k*b)%b,但是这个值真的是最小的吗??如果我们将方程最有两边同时除以gcd(a,b),则方程变为a1*x b1*y=m1,同上面的分析可知,此时的最小值应该为(x k*b1)

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